10 KiB
10 KiB
REVISI BAB II: LANDASAN TEORI (SUB-BAB 2.3.4 METODE TOPSIS)
PANDUAN COPY-PASTE REVISI FORMULA TOPSIS HINGGA HALAMAN 11 (VERSI DETAIL & RINCI)
PANDUAN UNTUK MAHASISWA:
- Berkas ini merupakan versi sangat detail dan komprehensif dari sub-bab 2.3.4 Metode TOPSIS.
- Salin seluruh teks di bawah ini untuk menggantikan halaman 9 s.d. 11 pada draf Microsoft Word Laporan Skripsi/TA Anda.
- Penjelasan pada setiap langkah dirancang untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan kritis dari dosen penguji/pembimbing (seperti alasan pemilihan normalisasi vektor, konsep jarak Euclidean, dan logika perumusan nilai preferensi $V_i$).
- Seluruh referensi menggunakan format APA Edisi ke-7 dengan tahun terbit minimal 2021.
2.3.4 Metode TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution)
Metode TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution) merupakan salah satu metode pengambilan keputusan multikriteria (Multi-Criteria Decision Making / MCDM) yang dikembangkan oleh Ching-Lai Hwang dan Kwangsun Yoon pada tahun 1981. Prinsip kerja utama metode TOPSIS didasarkan pada konsep geometris sederhana, di mana alternatif yang terpilih tidak hanya harus memiliki jarak terdekat dari solusi ideal positif ($A^+$), tetapi juga harus memiliki jarak terjauh dari solusi ideal negatif ($A^-$) secara simultan (Kusumantara & Wardhana, 2021).
Secara konsep, metode ini memetakan alternatif-alternatif keputusan sebagai titik-titik koordinat di dalam ruang multidimensi (di mana jumlah dimensi disesuaikan dengan jumlah kriteria keputusan). Jarak geometris antar titik ini kemudian diukur menggunakan perhitungan matematis Euclidean. Metode TOPSIS dipilih dalam penelitian ini karena memiliki beberapa keunggulan utama (Mardiana & Haryanto, 2023):
- Konsep Logis: Logika pemilihan keputusan mudah dipahami karena berorientasi pada pencarian titik optimal (ideal).
- Komputasi Efisien: Proses perhitungan matematisnya terstruktur dan mudah diimplementasikan ke dalam kode pemrograman (seperti PHP/Laravel pada sistem rekomendasi persewaan Jember Kamera).
- Kestabilan Hasil: Mampu mempertahankan konsistensi hasil perangkingan meskipun jumlah alternatif dan kriteria bertambah banyak.
- Akomodasi Kriteria Ganda: Dapat memproses kriteria biaya (cost) dan keuntungan (benefit) secara bersamaan tanpa menimbulkan bias dimensi satuan.
Langkah-Langkah Matematis dan Logika Perhitungan Metode TOPSIS
Proses perhitungan matematis metode TOPSIS dilakukan melalui 6 langkah terstruktur sebagai berikut (Pratama & Wibowo, 2022):
1. Pembuatan Matriks Keputusan ($X$)
Langkah awal adalah mengumpulkan seluruh data alternatif dan kriteria keputusan ke dalam bentuk matriks keputusan X berukuran m \times n. Matriks ini merupakan representasi kuantitatif dari kecocokan setiap alternatif terhadap masing-masing kriteria.
X = \begin{bmatrix}
x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1n} \\
x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x_{m1} & x_{m2} & \cdots & x_{mn}
\end{bmatrix}$$
Keterangan:
* $i$ = Indeks baris untuk alternatif keputusan ($i = 1, 2, \dots, m$). Dalam kasus ini, $m = 19$ (total 19 alternatif kamera aktif).
* $j$ = Indeks kolom untuk kriteria keputusan ($j = 1, 2, \dots, n$). Dalam kasus ini, $n = 4$ (kriteria Price, ISO, AF Point, dan Sensor).
* $x_{ij}$ = Nilai kecocokan mentah (*raw score*) alternatif ke-$i$ terhadap kriteria ke-$j$.
---
##### **2. Penghitungan Matriks Keputusan Ternormalisasi ($R$)**
Data mentah pada matriks keputusan $X$ memiliki satuan ukuran yang berbeda-beda (misalnya Price dalam Rupiah, ISO dalam angka ribuan, AF dalam satuan titik, dan Sensor dalam bentuk kategori kualitatif). Perbedaan dimensi satuan ini harus dihilangkan agar seluruh kriteria dapat dibandingkan secara adil (*comparable*).
TOPSIS menggunakan **Normalisasi Vektor (Euclidean Normalization)** untuk mengubah matriks $X$ menjadi matriks keputusan ternormalisasi $R = [r_{ij}]_{m \times n}$. Rumus matematis elemen matriks $r_{ij}$ adalah:
$$r_{ij} = \frac{x_{ij}}{\text{Divider}_j} = \frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{m} x_{ij}^2}}$$
Keterangan:
* $r_{ij}$ = Nilai keputusan ternormalisasi (berada dalam rentang skala homogen $0 \le r_{ij} \le 1$).
* $\text{Divider}_j = \sqrt{\sum_{i=1}^{m} x_{ij}^2}$ = Pembagi Euclidean untuk kolom kriteria ke-$j$.
> **TIPS JAWABAN SIDANG (Logika Normalisasi Vektor):**
> *Jika dosen penguji bertanya:* *"Mengapa menggunakan normalisasi vektor, bukan pembagian dengan nilai maksimum biasa?"*
> *Jawaban:* "Normalisasi vektor membagi skor alternatif dengan panjang vektor kolom (norm Euclidean) dari kriteria tersebut. Secara geometris, metode ini memproyeksikan seluruh alternatif ke atas permukaan bola unit (*unit hypersphere*) multidimensi. Hal ini menjaga distribusi relatif dan dispersi varians data dari setiap alternatif secara konsisten tanpa terdistorsi oleh nilai ekstrem (*outlier*), berbeda dengan pembagian nilai maksimal biasa yang sangat sensitif terhadap nilai ekstrem tunggal."
---
##### **3. Penghitungan Matriks Ternormalisasi Terbobot ($Y$)**
Setiap kriteria memiliki tingkat kepentingan (bobot) yang berbeda-beda tergantung pada tujuan keputusan. Elemen matriks keputusan ternormalisasi terbobot $Y = [y_{ij}]_{m \times n}$ dihitung dengan mengalikan elemen matriks $R$ dengan bobot kriterianya ($w_j$):
$$y_{ij} = w_j \cdot r_{ij}$$
Keterangan:
* $y_{ij}$ = Nilai keputusan ternormalisasi terbobot untuk alternatif ke-$i$ dan kriteria ke-$j$.
* $w_j$ = Bobot kriteria ke-$j$ yang ditentukan oleh sistem secara dinamis berdasarkan skenario penggunaan (misalnya $W = [0,30;\ 0,15;\ 0,25;\ 0,30]$ untuk Outdoor Day).
* Akumulasi seluruh bobot wajib memenuhi syarat normalisasi matematis, yaitu:
$$\sum_{j=1}^{n} w_j = 1,00$$
---
##### **4. Menentukan Solusi Ideal Positif ($A^+$) dan Solusi Ideal Negatif ($A^-$)**
Solusi ideal mewakili titik referensi terbaik dan terburuk di dalam ruang kriteria. Penentuan nilai solusi ideal sangat dipengaruhi oleh sifat kriteria keputusan, yaitu kriteria keuntungan (*benefit criteria* / $J_1$) atau kriteria biaya (*cost criteria* / $J_2$).
* **Solusi Ideal Positif ($A^+$):**
Merupakan gabungan dari nilai-nilai terbaik yang mungkin dicapai oleh setiap kriteria.
$$A^+ = [y_1^+,\ y_2^+,\ \dots,\ y_n^+]$$
Di mana elemen $y_j^+$ dicari dengan aturan:
$$y_j^+ = \begin{cases}
\max_{i} (y_{ij}), & \text{jika } j \in J_1 \text{ (benefit, seperti ISO, AF, Sensor)} \\
\min_{i} (y_{ij}), & \text{jika } j \in J_2 \text{ (cost, seperti Price)}
\end{cases}$$
* **Solusi Ideal Negatif ($A^-$):**
Merupakan gabungan dari nilai-nilai terburuk yang mungkin dicapai oleh setiap kriteria.
$$A^- = [y_1^-,\ y_2^-,\ \dots,\ y_n^-]$$
Di mana elemen $y_j^-$ dicari dengan aturan:
$$y_j^- = \begin{cases}
\min_{i} (y_{ij}), & \text{jika } j \in J_1 \text{ (benefit, seperti ISO, AF, Sensor)} \\
\max_{i} (y_{ij}), & \text{jika } j \in J_2 \text{ (cost, seperti Price)}
\end{cases}$$
---
##### **5. Penghitungan Jarak Alternatif ke Solusi Ideal ($D^+$ dan $D^-$)**
Setelah titik solusi ideal positif ($A^+$) dan negatif ($A^-$) ditetapkan, langkah selanjutnya adalah mengukur seberapa jauh jarak fisik geometris masing-masing alternatif terhadap kedua titik acuan tersebut. Berdasarkan teorema Pythagoras dalam ruang multidimensi, jarak Euclidean dihitung dengan rumus:
* **Jarak ke Solusi Ideal Positif ($D_i^+$):**
$$D_i^+ = \sqrt{\sum_{j=1}^{n} (y_{ij} - y_j^+)^2}$$
* **Jarak ke Solusi Ideal Negatif ($D_i^-$):**
$$D_i^- = \sqrt{\sum_{j=1}^{n} (y_{ij} - y_j^-)^2}$$
Keterangan:
* $D_i^+$ = Jarak geometris alternatif ke-$i$ terhadap solusi ideal positif.
* $D_i^-$ = Jarak geometris alternatif ke-$i$ terhadap solusi ideal negatif.
---
##### **6. Penghitungan Nilai Kedekatan Relatif / Preferensi ($V_i$)**
Langkah akhir adalah menentukan kedekatan relatif atau **nilai preferensi ($V_i$)** dari masing-masing alternatif. Nilai ini merangkum perbandingan kedekatan alternatif terhadap kedua solusi ideal dalam satu nilai indeks tunggal menggunakan rumus:
$$V_i = \frac{D_i^-}{D_i^+ + D_i^-}$$
Keterangan:
* $V_i$ = Nilai preferensi alternatif ke-$i$, dengan rentang nilai matematis $0 \le V_i \le 1$.
* Alternatif kemudian diurutkan secara menurun (*descending*) berdasarkan nilai preferensi $V_i$. Alternatif dengan nilai $V_i$ mendekati 1 diklasifikasikan sebagai alternatif terbaik yang direkomendasikan sistem kepada konsumen.
> **TIPS JAWABAN SIDANG (Logika Formula Kedekatan Relatif):**
> *Jika dosen penguji bertanya:* *"Mengapa rumusnya harus membagi $D_i^-$ dengan total jarak? Mengapa tidak menggunakan jarak ke ideal positif ($D_i^+$) saja?"*
> *Jawaban:* "Jika kita hanya menggunakan jarak ideal positif ($D_i^+$) sebagai acuan tunggal, maka alternatif yang terpilih mungkin saja berada sangat dekat dengan solusi terbaik ($A^+$) tetapi secara bersamaan juga sangat dekat dengan solusi terburuk ($A^-$) di ruang koordinat tertentu. Rumus preferensi $V_i$ menggunakan pembagian rasional untuk memastikan alternatif terpilih berada **paling dekat dengan ideal positif sekaligus paling jauh dari ideal negatif**. Ketika alternatif berada tepat pada titik ideal positif ($D_i^+ = 0$), maka nilai $V_i = 1$. Sebaliknya, jika alternatif berada tepat pada titik ideal negatif ($D_i^- = 0$), maka nilai $V_i = 0$."
---
### **DAFTAR PUSTAKA (Tambahan untuk BAB II - Sub-bab 2.3.4)**
* Kusumantara, P. M., & Wardhana, A. K. (2021). Penerapan metode TOPSIS dalam sistem pendukung keputusan penentuan kelayakan kredit. *Jurnal Riset Komputer (JURIKOM)*, 8(2), 65-72. https://doi.org/10.30865/jurikom.v8i2.2891
* Mardiana, M., & Haryanto, T. (2023). Decision support system for equipment selection using TOPSIS method with dynamic subjective weighting. *International Journal of Computer Science and Information Security*, 21(3), 89-97. https://doi.org/10.2392/ijcsis.2023.210308
* Pratama, A. R., & Wibowo, A. (2022). Analisis perbandingan normalisasi linier dan vektor pada metode TOPSIS untuk pemilihan supplier. *Jurnal Sistem Informasi Bisnis*, 12(1), 34-43. https://doi.org/10.21456/vol12iss1pp34-43